Class 10 MATH WBBSE | দশম শ্রেণি গণিত | দ্বিঘাত সমীকরণ | কষে দেখি ১.১ | part 1

Class 10 MATH / দশম শ্রেণি গণিত - দ্বিঘাত সমীকরণ, কষে দেখি ১.১

এখানে আমরা ক্লাস ১০ এর গণিত বই এর ১ম অধ্যায়, কষে দেখি ১.১ এর উত্তর করে দিয়েছি । এগুলি খুব ই সুন্দর, সহজ এবং সঠিক ভাবে করা । কষে দেখি ১.১ কে আমরা 2 টো Part এ ভাগ করে উত্তর করে দিয়েছি । এটা Part 1 ।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

কষে দেখি ১.১

~: গণিত প্রকাশ:~

~: Part - 1:~

1. নিচের বহুপদী সংখ্যামালা গুলির মধ্যে কোনটি / কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি ।

(i) x²-7x+2

সমাধানঃ-

এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কারণ এখানে বহুপদী সংখ্যামালা x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 ।

(ii) 7x⁵-x(x+2)

সমাধানঃ-

7x⁵-x(x+2)

=7x⁵-x²-2x

এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা হলেও, দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয় কারণ এক্ষেত্রে x এর সর্বোচ্চ ঘাত 5 ।

(iii) 2x(x+5)+1

সমাধানঃ-

2x(x+5)+1

=2x²+10x+1

এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কারণ এখানে x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 ।

(iv) 2x-1

সমাধানঃ-

এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয় কারণ এখানে x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 নেই ।

2. নিচের সমীকরণ গুলির কোনটি ax²+bx+c = 0 , যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি ।

(i) x - 1 + ¹/_x = 6, (x≠0)

সমাধানঃ-

x - 1 + ¹/_x = 6

বা, x² - x + 1 = 6x

বা, x²- x + 1 - 6x = 0

বা, x²- 7x + 1 = 0

∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা হল ।

(ii) x + ³/_x = x² , (x≠0)

সমাধানঃ-

x + ³/_x = x²

বা, x² + 3 = x³

বা, x²- x³ + 3 = 0

∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।

(iii) x² - 6√x + 2 = 0

সমাধানঃ-

x² - 6√x + 2 = 0

বা, x² - 6x^1/2 + 2 = 0

∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।

(iv) (x-2)² = x² - 4x + 4

সমাধানঃ-

(x-2)² = x² - 4x + 4

বা, x² - 4x + 4 = x² - 4x + 4 [ যেহেতু , (x-2)² = (x)² - 2.x.2 + (2)² ]

∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।

3. x⁶ - x³ - 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাত এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ-

x⁶ - x³ - 2 = 0

বা, (x³)² - x³ - 2 = 0

∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা হল ।

∴ প্রদত্ত সমীকরণ টি x³ এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।

4.(i) (a-2)² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি a এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা তা নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ-

প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা যদি a - 2 = 0 হয় ।

a - 2 = 0

বা, a = 2

∴ a = 2 হলে প্রদত্ত সমীকরণ টি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা ।

4.(ii) ^x/_4-x = ¹/_3x (x ≠ 0 , x ≠ 4 ) কে ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) আকারে প্রকাশ করলে x এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ-

^x/_4-x = ¹/_3x

বা, 3x² = 4 - x

বা, 3x² + x - 4 = 0

∴ x এর সহগ হবে 1 ।

4.(iii) 3x² + 7x + 23 = (x+4)(x+3) + 2 কে ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি ।

সমাধানঃ-

3x² + 7x + 23 = (x+4)(x+3) + 2

বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 4x + 3x + 12 + 2

বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 7x + 14

বা, 3x² - x² + 7x -7x + 23 - 14 = 0

বা, 2x² + 9 = 0

বা, 2x² + 0x + 9 = 0

∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা হল যেখানে a ≠ 0 ।

4.(iv) (x+2)³ = x (x² - 1 ) কে ax² + bx + c = 0 , ( a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x² , x ও x⁰ এর সহগ লিখি ।

সমাধানঃ-

(x+2)³ = x (x² - 1 )

বা, (x)³ + 3 (x)² (2) + 3 (x) (2)² + (2)³ = x³ - x

বা, x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ - x

বা, x³ + 6x² + 12x + 8 - x³ + x = 0

বা, 6x² + 13x + 8 = 0

∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c আকারে প্রকাশ করা হল যেখানে a ≠ 0 এবং x² এর সহগ 6 , x এর সহগ 13 এবং x⁰ এর সহগ 8 ।

বাকি প্রশ্নের এর উত্তর গুলি Part 2 এ আসবে ।

Read More

Class 10 MATH WBBSE | দশম শ্রেণি গণিত | দ্বিঘাত সমীকরণ | কষে দেখি ১.১ | part 2

WBBSE

Class 10 MATH / দশম শ্রেণি গণিত

দ্বিঘাত সমীকরণ, কষে দেখি ১.১

এখানে আমরা ক্লাস ১০ এর গণিত বই এর ১ম অধ্যায়, কষে দেখি ১.১ এর উত্তর করে দিয়েছি । এগুলি খুব ই সুন্দর, সহজ এবং সঠিক ভাবে করা । কষে দেখি ১.১ কে আমরা 2 টো Part এ ভাগ করে উত্তর করে দিয়েছি । এটা Part 2 ।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

কষে দেখি ১.১

~: গণিত প্রকাশ:~

~: Part - 2:~

1. নিচের বিবৃত গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।

(i) 42 কে এমন দুটি অংশে ভাগ করো যাতে একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয় ।

সমাধানঃ-

ধরি, একটি অংশ = X

অপর অংশ = (42-X) , [যেহেতু মোট অংশ 42]

শর্তানুসারে,

          X² = 42 - X

      বা,   X² + X - 42 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + X - 42 = 0 ।

(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143

সমাধানঃ-

ধরি, একটি সংখ্যা = X

অপর সংখ্যাটি হবে = (X + 2) , [ যেহেতু ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা ]

শর্তানুসারে,

          X (X+2) = 143

      বা,   X² + 2X - 143 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + 2X - 143 = 0 ।

(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 143

সমাধানঃ-

ধরি, একটি সংখ্যা = X

অপর সংখ্যাটি হবে = (X + 1) , [ যেহেতু ক্রমিক সংখ্যা ]

শর্তানুসারে,

          X² + (X+1)² = 313

      বা,   X² + X²+ 2X + 1 = 313

      বা,   2X² + 2X + 1 = 313

      বা,   2X² + 2X + 1 - 313 = 0

      বা,   2X² + 2X - 312 = 0

      বা,   2 (X² + X - 156 ) = 0

      বা,   X² + X - 156 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + X - 156 = 0 ।

6.নিচের বিবৃত গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।

(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি ।

সমাধানঃ-

ধরি, আয়তকার ক্ষেত্রের প্রস্থ X মিটার

আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (X+3) মিটার

আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)

শর্তানুসারে,

       

          উভয়পক্ষ কে বর্গ করে পাই ,

      বা,   X² + (X + 3)² = 225

      বা,   X² + (X)² + 2(X)(3) + (3)² = 225   [ আমরা জানি , (a+b)² = (a)² + 2 . a . b + (b)² ]

      বা,   2X² + 6X + 9 = 225

      বা,   2X² + 6X + 9 - 225 = 0

      বা,   2X² + 6X - 216 = 0

      বা,   2 ( X² + 3X - 108 ) = 0

      বা,   X² + 3X - 108 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + 3X - 108 = 0 ।

(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায়ে কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন । যদি ওই টাকায়ে তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হত ।

সমাধানঃ-

ধরি, প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য X টাকা

∴ 80 টাকায় পাওয়া যাবে  ⁸⁰/_X কিগ্রা চিনি

এখন প্রতি কিগ্রা চিনির দাম (X-1) টাকা হলে, 80 টাকায়ে পাওয়া যাবে  ⁸⁰/_(X-1) কিগ্রা চিনি

শর্তানুসারে,

   

   

   

   

   

   

   

   

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² - X - 20 = 0 ।

(iii) দুটি ষ্টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি । একটি ট্রেন প্রথম ষ্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিটিও ষ্টেশন এ গেল । ট্রেন টির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেন টির দ্বিতীয় ষ্টেশন এ যেতে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগত ।

সমাধানঃ-

ধরি, ট্রেন টির গতিবেগ X কিমি/ঘন্টা

∴ 300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/X ঘণ্টা   [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব/গতিবেগ ]

ট্রেনটির গতিবেগ (X+5) কিমি প্রতি ঘন্টা হলে, 300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/(X+5) ঘন্টা   [ যেহেতু, সময় = দূরত্ব/গতিবেগ ]

শর্তানুসারে,

   

   

   

   

   

   

   

   

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + 5X - 750 = 0 ।

(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন । তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল ।

সমাধানঃ-

ধরি, ঘড়ি টি তিনি X টাকায় ক্রয় করেছিলেন ।

এবং ঘড়িটি বিক্রি করেছেন 336 টাকায়

∴ লাভ = ( ক্রয় মূল্য - বিক্রয় মূল্য ) = (336 - X) টাকা

∴ শতকরা লাভ = ( লাভ / ক্রয় মূল্য ) ✕ 100 %

         

শর্তানুসারে,

   

   

   

   

   

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + 100X - 33600 = 0 ।

(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ঐ দূরত্ত্ব ফিরে আসতে 10 ঘন্টা সময় লাগে ।

সমাধানঃ-

ধরি, নৌকার বেগ X কিমি/ঘন্টা ।

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (X+2) কিমি/ঘন্টা ।

এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (X-2) কিমি/ঘন্টা ।

আমরা জানি, সময় = দূরত্ব / গতিবেগ ।

∴ স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে 21 / (X+2) ঘন্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি. ফিরে আসতে সময় লাগে 21 / (X-2) ঘন্টা ।

শর্তানুসারে,

   

   

   

   

   

   

   

   

   

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল 5X² - 21X - 20 = 0 ।

(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে । তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায়ে শেষ করতে পারে ।

সমাধানঃ-

ধরি, মহিমের বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে X ঘন্টা

মজিদের সময় লাগে (X+3) ঘন্টা

আরো ধরা যাক মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ।

∴ মহিম X ঘন্টায় কাজ করে 1 অংশ

∴ মহিম 1 ঘন্টায় কাজ করে 1/X অংশ

∴মজিদ (X+3) ঘন্টায় কাজ করে 1 অংশ

∴মজিদ 1 ঘন্টায় কাজ করে 1/(X+3) অংশ

শর্তানুসারে,

   

   

   

   

   

   

   

   

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² - 4X - 6 = 0 ।

(vii) দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক টি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম ।

সমাধানঃ-

ধরি, দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক X

∴একক স্থানীয় অঙ্ক হবে (X+6)

দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি হল = 10X+(X+6) = 11X+6

শর্তানুসারে,

        X(X+6) = (11X + 6) - 12

      বা,   X² + 6X = 11X + 6 -12

      বা,   X² + 6X = 11X - 6

      বা,   2X² + 6X - 11X + 6 = 0

      বা,   X² - 5X + 6 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² - 5X + 6 = 0 ।

(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্র কার খেলার মাঠের মাঠের বাইরের চারপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।

সমাধানঃ-

ধরি, রাস্তাটি X মিটার চওড়া

∴ রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (45+2X) মিটার

এবং রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ (40+2X) মিটার

শর্তানুসারে,

        (45+2X) ✕ (40+2X) - (45✕40) = 450

      বা,   1800 + 90X + 80X + 4X² - 1800 = 450

      বা,   4X² + 170X - 450 = 0

      বা,   2 ( 2X² + 85X - 225 ) = 0

      বা,   2X² + 85X - 225 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল 2X² + 85X - 225 = 0 ।

ধন্যবাদ । আশা করি POST টি থেকে সবাই উপকৃত হবেন । এই POST টি ভাল লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল ।

Read More