Class 10 MATH WBBSE | দশম শ্রেণি গণিত | দ্বিঘাত সমীকরণ | কষে দেখি ১.১ | part 2

WBBSE

Class 10 MATH / দশম শ্রেণি গণিত

দ্বিঘাত সমীকরণ, কষে দেখি ১.১

এখানে আমরা ক্লাস ১০ এর গণিত বই এর ১ম অধ্যায়, কষে দেখি ১.১ এর উত্তর করে দিয়েছি । এগুলি খুব ই সুন্দর, সহজ এবং সঠিক ভাবে করা । কষে দেখি ১.১ কে আমরা 2 টো Part এ ভাগ করে উত্তর করে দিয়েছি । এটা Part 2 ।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

কষে দেখি ১.১

~: গণিত প্রকাশ:~

~: Part - 2:~

1. নিচের বিবৃত গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।

(i) 42 কে এমন দুটি অংশে ভাগ করো যাতে একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয় ।

সমাধানঃ-

ধরি, একটি অংশ = X

অপর অংশ = (42-X) , [যেহেতু মোট অংশ 42]

শর্তানুসারে,

          X² = 42 - X

      বা,   X² + X - 42 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + X - 42 = 0 ।

(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143

সমাধানঃ-

ধরি, একটি সংখ্যা = X

অপর সংখ্যাটি হবে = (X + 2) , [ যেহেতু ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা ]

শর্তানুসারে,

          X (X+2) = 143

      বা,   X² + 2X - 143 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + 2X - 143 = 0 ।

(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 143

সমাধানঃ-

ধরি, একটি সংখ্যা = X

অপর সংখ্যাটি হবে = (X + 1) , [ যেহেতু ক্রমিক সংখ্যা ]

শর্তানুসারে,

          X² + (X+1)² = 313

      বা,   X² + X²+ 2X + 1 = 313

      বা,   2X² + 2X + 1 = 313

      বা,   2X² + 2X + 1 - 313 = 0

      বা,   2X² + 2X - 312 = 0

      বা,   2 (X² + X - 156 ) = 0

      বা,   X² + X - 156 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + X - 156 = 0 ।

6.নিচের বিবৃত গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।

(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি ।

সমাধানঃ-

ধরি, আয়তকার ক্ষেত্রের প্রস্থ X মিটার

আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (X+3) মিটার

আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)

শর্তানুসারে,

       

          উভয়পক্ষ কে বর্গ করে পাই ,

      বা,   X² + (X + 3)² = 225

      বা,   X² + (X)² + 2(X)(3) + (3)² = 225   [ আমরা জানি , (a+b)² = (a)² + 2 . a . b + (b)² ]

      বা,   2X² + 6X + 9 = 225

      বা,   2X² + 6X + 9 - 225 = 0

      বা,   2X² + 6X - 216 = 0

      বা,   2 ( X² + 3X - 108 ) = 0

      বা,   X² + 3X - 108 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + 3X - 108 = 0 ।

(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায়ে কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন । যদি ওই টাকায়ে তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হত ।

সমাধানঃ-

ধরি, প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য X টাকা

∴ 80 টাকায় পাওয়া যাবে  ⁸⁰/_X কিগ্রা চিনি

এখন প্রতি কিগ্রা চিনির দাম (X-1) টাকা হলে, 80 টাকায়ে পাওয়া যাবে  ⁸⁰/_(X-1) কিগ্রা চিনি

শর্তানুসারে,

   

   

   

   

   

   

   

   

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² - X - 20 = 0 ।

(iii) দুটি ষ্টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি । একটি ট্রেন প্রথম ষ্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিটিও ষ্টেশন এ গেল । ট্রেন টির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেন টির দ্বিতীয় ষ্টেশন এ যেতে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগত ।

সমাধানঃ-

ধরি, ট্রেন টির গতিবেগ X কিমি/ঘন্টা

∴ 300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/X ঘণ্টা   [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব/গতিবেগ ]

ট্রেনটির গতিবেগ (X+5) কিমি প্রতি ঘন্টা হলে, 300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/(X+5) ঘন্টা   [ যেহেতু, সময় = দূরত্ব/গতিবেগ ]

শর্তানুসারে,

   

   

   

   

   

   

   

   

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + 5X - 750 = 0 ।

(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন । তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল ।

সমাধানঃ-

ধরি, ঘড়ি টি তিনি X টাকায় ক্রয় করেছিলেন ।

এবং ঘড়িটি বিক্রি করেছেন 336 টাকায়

∴ লাভ = ( ক্রয় মূল্য - বিক্রয় মূল্য ) = (336 - X) টাকা

∴ শতকরা লাভ = ( লাভ / ক্রয় মূল্য ) ✕ 100 %

         

শর্তানুসারে,

   

   

   

   

   

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² + 100X - 33600 = 0 ।

(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ঐ দূরত্ত্ব ফিরে আসতে 10 ঘন্টা সময় লাগে ।

সমাধানঃ-

ধরি, নৌকার বেগ X কিমি/ঘন্টা ।

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (X+2) কিমি/ঘন্টা ।

এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (X-2) কিমি/ঘন্টা ।

আমরা জানি, সময় = দূরত্ব / গতিবেগ ।

∴ স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে 21 / (X+2) ঘন্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি. ফিরে আসতে সময় লাগে 21 / (X-2) ঘন্টা ।

শর্তানুসারে,

   

   

   

   

   

   

   

   

   

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল 5X² - 21X - 20 = 0 ।

(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে । তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায়ে শেষ করতে পারে ।

সমাধানঃ-

ধরি, মহিমের বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে X ঘন্টা

মজিদের সময় লাগে (X+3) ঘন্টা

আরো ধরা যাক মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ।

∴ মহিম X ঘন্টায় কাজ করে 1 অংশ

∴ মহিম 1 ঘন্টায় কাজ করে 1/X অংশ

∴মজিদ (X+3) ঘন্টায় কাজ করে 1 অংশ

∴মজিদ 1 ঘন্টায় কাজ করে 1/(X+3) অংশ

শর্তানুসারে,

   

   

   

   

   

   

   

   

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² - 4X - 6 = 0 ।

(vii) দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক টি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম ।

সমাধানঃ-

ধরি, দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক X

∴একক স্থানীয় অঙ্ক হবে (X+6)

দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি হল = 10X+(X+6) = 11X+6

শর্তানুসারে,

        X(X+6) = (11X + 6) - 12

      বা,   X² + 6X = 11X + 6 -12

      বা,   X² + 6X = 11X - 6

      বা,   2X² + 6X - 11X + 6 = 0

      বা,   X² - 5X + 6 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল X² - 5X + 6 = 0 ।

(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্র কার খেলার মাঠের মাঠের বাইরের চারপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।

সমাধানঃ-

ধরি, রাস্তাটি X মিটার চওড়া

∴ রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (45+2X) মিটার

এবং রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ (40+2X) মিটার

শর্তানুসারে,

        (45+2X) ✕ (40+2X) - (45✕40) = 450

      বা,   1800 + 90X + 80X + 4X² - 1800 = 450

      বা,   4X² + 170X - 450 = 0

      বা,   2 ( 2X² + 85X - 225 ) = 0

      বা,   2X² + 85X - 225 = 0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল 2X² + 85X - 225 = 0 ।

ধন্যবাদ । আশা করি POST টি থেকে সবাই উপকৃত হবেন । এই POST টি ভাল লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল ।